这是《线性代数 (B)》的试题。
2018 - 2019 秋季学期（王保祥）
期中试题
- 设 $\alpha_1 = (a_1, a_2, a_3, a_4)$，$\alpha_2 = (b_1, b_2, b_3, b_4)$ 线性无关，问 $\beta_1 = (a_1, a_2, a_3)$，$\beta_2 = (b_1, b_2, b_3)$ 是否线性无关？说明理由。
- 设 $\alpha_1 = (1, 0, 0, \cdots, 0)$，$\alpha_2 = (1, 1, 0, \cdots, 0)$，$\alpha_3 = (1, 1, 1, \cdots, 0)$，$\cdots$，$\alpha_n = (1, 1, 1, \cdots, 1)$。求出 $L(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n) = \{ c_1\alpha_1 + c_2\alpha_2 + \cdots + c_n\alpha_n \mid c_j 为实数 \}$。问 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 是否为 $L(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n)$ 的基，为什么？
- 计算 Vandermonde 行列式：$$ \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ a_1^2 & a_2^2 & \cdots & a_n^2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & \cdots & a_n^{n-1} \end{vmatrix}. $$
- 讨论下列矩阵的秩：$$ \begin{bmatrix} 1 & a & -1 & 2 \\ 2 & -1 & a & 5 \\ 1 & 10 & -6 & 1 \end{bmatrix}. $$
- 齐次线性方程组 $$ x_1\alpha_1 + \cdots x_n\alpha_n = 0 $$ 有解是否可以推出非齐次线性方程组 $$ x_1\alpha_1 + \cdots x_n\alpha_n = \beta $$ 也一定有解，如是请证明，若不然请举例说明你的结果。
期末试题
- （30 分）回答下面的问题：
- 设 $V$ 为线性空间，$V$ 中向量 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 可以由 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_r$ 线性表出且 $s > r$。问 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 是否为线性无关的向量组？请证明你的结果。
- 设 $V$ 为 $n$ 维线性空间，$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 是 $V$ 中线性无关的向量组，问 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 是否为 $V$ 的基，为什么？
- 设 $V = \{(a_{ij})_{n \times n} \mid a_{ij} = a_{ji}, a_{ij} 为实数 \}$，问 $V$ 的基是什么？说明理由。
- （20 分）设 $V$ 为欧几里得线性空间，维数为 $n$，构造同构映射 $\sigma : V \rightarrow \mathbb R^n$，并证明你的结论。
- （20 分）设 $$A = \begin{bmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ 5 & -3 & 2 \end{bmatrix}, $$ 求 $A$ 的逆矩阵；$$ B = \begin{bmatrix} 2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5 \end{bmatrix}, $$ 求 $B$ 的特征值和特征向量。
- （20 分）化下面的二次型为标准形：$$ f(x_1, x_2, x_3) = x_1x_2 + x_1x_3 - 3x_3x_2. $$
- （10 分）设 $V$ 为函数 $1$，$\sin x$，$\cos x$，$\sin 2x$，$\cos 2x$，$\cdots$，$\sin nx$，$\cos nx$ 生成的线性空间，求出 $V$。$\mathbb Af$ 表示 $f$ 的导函数，问 $\mathbb A$ 是否为 $V$ 上的线性变换？进一步求出 $\mathbb A$ 在 $V$ 的基下的矩阵表示。
2019 - 2020 秋季学期（甘少波）
期中试题
- （每题10分，共20分） 计算下面行列式的值。
- \(\begin{vmatrix} 1 & \cfrac 12 & \cfrac 13 \\ \cfrac 12 & \cfrac 13 & \cfrac 14 \\ \cfrac 13 & \cfrac 14 & \cfrac 15 \end{vmatrix}\)，
- \(\begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 9 & 0 \\ 1 & 0 & 4 & 16 & 0 \end{vmatrix}\)。
- （20分）考虑下面的线性方程组\[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 - ax_3 = 1, \\ x_1 + 3x_2 - ax_3 = 2, \\ ax_1 + 3x_2 - ax_3 = 3. \end{cases} \]问当\(a\)取何值时，上述方程组无解？当\(a\)取何值时，有唯一解？当\(a\)取何值时，有无穷多解？当方程组有无穷多解时，求出其解集。
- （15分）设有向量组：\[ \gamma_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}, \gamma_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \gamma_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 7 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix}, \gamma_4 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}. \]求该向量组生成的子空间\(\langle \gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4 \rangle\)的维数和一个基。
- （10分）已知一个4元线性方程组的系数矩阵的秩为2，且下列向量是它的解\[ \gamma_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \gamma_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}, \gamma_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix}. \]
- （5分）求该线性方程组的增广矩阵的秩；
- （5分）求此方程组的通解。
- （15分）考虑\(n(n \ge 3)\)元齐次线性方程组：\[ \begin{cases} x_1 + x_2 - x_3 = 0, \\ x_2 + x_3 - x_4 = 0, \\ \cdots \\ x_{n - 2} + x_{n- 1} - x_n = 0. \end{cases} \]
- （10分）将上述方程组看成实数域\(\mathbb{R}\)上的方程组，求它的一个基础解系；
- （5分）将上述方程组看成有理数域\(\mathbb{Q}\)上的方程组，求它的一个基础解系。
- （10分）求解下面的\(n\)元线性方程组：\[ \begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 + \cdots + x_n = 1, \\ x_1 + 2x_2 + 3x_3 + \cdots + nx_n = 0, \\ x_1 + 2^2x_2 + 3^2x_3 + \cdots + n^2x_n = 0, \\ \cdots \\ x_1 + 2^{n - 1}x_2 + 3^{n - 1}x_3 + \cdots + n^{n - 1}x_n = 0. \end{cases} \]
- （10分）设\(n\)个方程的\(n\)元齐次线性方程组有非零解，并且系数矩阵\(A\)的\((1, 1)\)元的代数余子式\(A_{11} \neq 0\)。证明：\(\eta = (A_{11}, A_{12}, \cdots, A_{1n})^T\)为该齐次线性方程组的一个基础解系，其中\(A_{ij}\)为\(A\)的\((1, j)\)元的代数余子式。
期末试题
本试题中\(K\)为任一给定数域，\(n > 0\)为一自然数。
- （10分）求解下面的矩阵方程：
- （10分）求三元实二次型的规范形。
- （20分）设有实对称矩阵
- （10分）求的全部特征值与特征向量。
- （10分）求一正交矩阵使得为对角矩阵。
- （20分）将看成数域上的线性空间。定义线性变换这里为的转置。
- （10分）求的所有特征值与特征向量。
- （10分）找出的一个基，使得在此基下的矩阵为对角矩阵， 并计算该对角矩阵的行列式。
- （10分）设，满足，且。证明：-1是的一个特征值。