环院《线性代数(B)》试题整理

一小时速成?不可能的,想啥呢。

  • 2019-01-07 12:00
  • 2020-01-11 23:57

这是《线性代数 (B)》的试题。

2018 - 2019 秋季学期(王保祥)

期中试题

  1. 设 $\alpha_1 = (a_1, a_2, a_3, a_4)$,$\alpha_2 = (b_1, b_2, b_3, b_4)$ 线性无关,问 $\beta_1 = (a_1, a_2, a_3)$,$\beta_2 = (b_1, b_2, b_3)$ 是否线性无关?说明理由。
  2. 设 $\alpha_1 = (1, 0, 0, \cdots, 0)$,$\alpha_2 = (1, 1, 0, \cdots, 0)$,$\alpha_3 = (1, 1, 1, \cdots, 0)$,$\cdots$,$\alpha_n = (1, 1, 1, \cdots, 1)$。求出 $L(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n) = \{ c_1\alpha_1 + c_2\alpha_2 + \cdots + c_n\alpha_n \mid c_j 为实数 \}$。问 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 是否为 $L(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n)$ 的基,为什么?
  3. 计算 Vandermonde 行列式:$$ \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ a_1^2 & a_2^2 & \cdots & a_n^2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & \cdots & a_n^{n-1} \end{vmatrix}. $$
  4. 讨论下列矩阵的秩:$$ \begin{bmatrix} 1 & a & -1 & 2 \\ 2 & -1 & a & 5 \\ 1 & 10 & -6 & 1 \end{bmatrix}. $$
  5. 齐次线性方程组 $$ x_1\alpha_1 + \cdots x_n\alpha_n = 0 $$ 有解是否可以推出非齐次线性方程组 $$ x_1\alpha_1 + \cdots x_n\alpha_n = \beta $$ 也一定有解,如是请证明,若不然请举例说明你的结果。

期末试题

  1. (30 分)回答下面的问题:
    1. 设 $V$ 为线性空间,$V$ 中向量 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 可以由 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_r$ 线性表出且 $s > r$。问 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 是否为线性无关的向量组?请证明你的结果。
    2. 设 $V$ 为 $n$ 维线性空间,$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 是 $V$ 中线性无关的向量组,问 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 是否为 $V$ 的基,为什么?
    3. 设 $V = \{(a_{ij})_{n \times n} \mid a_{ij} = a_{ji}, a_{ij} 为实数 \}$,问 $V$ 的基是什么?说明理由。
  2. (20 分)设 $V$ 为欧几里得线性空间,维数为 $n$,构造同构映射 $\sigma : V \rightarrow \mathbb R^n$,并证明你的结论。
  3. (20 分)设 $$A = \begin{bmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ 5 & -3 & 2 \end{bmatrix}, $$ 求 $A$ 的逆矩阵;$$ B = \begin{bmatrix} 2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5 \end{bmatrix}, $$ 求 $B$ 的特征值和特征向量。
  4. (20 分)化下面的二次型为标准形:$$ f(x_1, x_2, x_3) = x_1x_2 + x_1x_3 - 3x_3x_2. $$
  5. (10 分)设 $V$ 为函数 $1$,$\sin x$,$\cos x$,$\sin 2x$,$\cos 2x$,$\cdots$,$\sin nx$,$\cos nx$ 生成的线性空间,求出 $V$。$\mathbb Af$ 表示 $f$ 的导函数,问 $\mathbb A$ 是否为 $V$ 上的线性变换?进一步求出 $\mathbb A$ 在 $V$ 的基下的矩阵表示。

2019 - 2020 秋季学期(甘少波)

期中试题

  1. (每题10分,共20分) 计算下面行列式的值。
    • \(\begin{vmatrix} 1 & \cfrac 12 & \cfrac 13 \\ \cfrac 12 & \cfrac 13 & \cfrac 14 \\ \cfrac 13 & \cfrac 14 & \cfrac 15 \end{vmatrix}\),
    • \(\begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 9 & 0 \\ 1 & 0 & 4 & 16 & 0 \end{vmatrix}\)。
  2. (20分)考虑下面的线性方程组\[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 - ax_3 = 1, \\ x_1 + 3x_2 - ax_3 = 2, \\ ax_1 + 3x_2 - ax_3 = 3. \end{cases} \]问当\(a\)取何值时,上述方程组无解?当\(a\)取何值时,有唯一解?当\(a\)取何值时,有无穷多解?当方程组有无穷多解时,求出其解集。
  3. (15分)设有向量组:\[ \gamma_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}, \gamma_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \gamma_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 7 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix}, \gamma_4 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}. \]求该向量组生成的子空间\(\langle \gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4 \rangle\)的维数和一个基。
  4. (10分)已知一个4元线性方程组的系数矩阵的秩为2,且下列向量是它的解\[ \gamma_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \gamma_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}, \gamma_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix}. \]
    • (5分)求该线性方程组的增广矩阵的秩;
    • (5分)求此方程组的通解。
  5. (15分)考虑\(n(n \ge 3)\)元齐次线性方程组:\[ \begin{cases} x_1 + x_2 - x_3 = 0, \\ x_2 + x_3 - x_4 = 0, \\ \cdots \\ x_{n - 2} + x_{n- 1} - x_n = 0. \end{cases} \]
    • (10分)将上述方程组看成实数域\(\mathbb{R}\)上的方程组,求它的一个基础解系;
    • (5分)将上述方程组看成有理数域\(\mathbb{Q}\)上的方程组,求它的一个基础解系。
  6. (10分)求解下面的\(n\)元线性方程组:\[ \begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 + \cdots + x_n = 1, \\ x_1 + 2x_2 + 3x_3 + \cdots + nx_n = 0, \\ x_1 + 2^2x_2 + 3^2x_3 + \cdots + n^2x_n = 0, \\ \cdots \\ x_1 + 2^{n - 1}x_2 + 3^{n - 1}x_3 + \cdots + n^{n - 1}x_n = 0. \end{cases} \]
  7. (10分)设\(n\)个方程的\(n\)元齐次线性方程组有非零解,并且系数矩阵\(A\)的\((1, 1)\)元的代数余子式\(A_{11} \neq 0\)。证明:\(\eta = (A_{11}, A_{12}, \cdots, A_{1n})^T\)为该齐次线性方程组的一个基础解系,其中\(A_{ij}\)为\(A\)的\((1, j)\)元的代数余子式。

期末试题

本试题中\(K\)为任一给定数域,\(n > 0\)为一自然数。

  1. (10分)求解下面的矩阵方程:
  2. (10分)求三元实二次型的规范形。
  3. (20分)设有实对称矩阵
    • (10分)求的全部特征值与特征向量。
    • (10分)求一正交矩阵使得为对角矩阵。
  4. (20分)将看成数域上的线性空间。定义线性变换这里的转置。
    • (10分)求的所有特征值与特征向量。
    • (10分)找出的一个基,使得在此基下的矩阵为对角矩阵, 并计算该对角矩阵的行列式。
  5. (10分)设,满足,且。证明:-1是的一个特征值。