2014年春季学期
期中试题
2014年4月17日 出题人：唐林
- 计算\(\int_0^\pi \int_0^\pi \mid\sin(x-y)\mid \mathrm dx \mathrm dy\)。（10分）
- 设\(\Omega\)为曲面\(x^2 + y^2 = az\)与\(z = 2a - \sqrt{x^2 + y^2}(a > 0)\)所围成的空间区域。求\(\Omega\)的表面积。（10分）
- 计算\(\iiint\limits_\Omega \cfrac {x + y + z} {\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \mathrm dV\)，其中有界闭区域\(\Omega\)是由曲面\(x^2 + y^2 = 1\)和平面\(z = 0\)，\(z = 1\)所围成的区域。（10分）
- 计算\(\int\limits_L \cfrac {-y\mathrm dx + x\mathrm dy}{x^2 + y^2}\)，其中\(L\)是沿曲线\(y = \pi\cos x\)方向从\(A(\pi, -\pi)\)点到\(B(-\pi, -\pi)\)点。（10分）
- 计算\(\iint\limits_S x^3\mathrm dy\mathrm dz + y^3\mathrm dz\mathrm dx + z^3\mathrm dx\mathrm dy\)，其中\(S\)是曲面\(z = x^2 + y^2\)在平面\(z = 0\)与\(z = 1\)之间的部分，定向为下侧。
- 计算\(\oint\limits_C (y^2 - z^2 + x^2) \mathrm dx + (z^2 - x^2 + y^2) \mathrm dy + (x^2 - y^2 + z^2) \mathrm dz\)，其中\(C\)是球面\(x^2 + y^2 + z^2 = 1\)与平面\(x + y + z = 1\)的交线，其方向从\(x\)轴正向看去反时针的方向。（10分）
- 解微分方程。（40分）
- 求方程\((2x + 3y)y' - y = 0\)的通解。
- 求方程\((x\cos y + 2xy^2 + x^2)\mathrm dx + (-\frac 12 x^2 \sin y + 2x^2y + y^2)\mathrm dy = 0\)的通解。
- 求方程\(y'' + 2y' + y = \cfrac {\mathrm e^{-x}} {x^2}\)的通解。
- 求方程\(y''' - 3y'' + 4y = 1 + x + 2x\cos^2 x + \mathrm e^{2x}\)的通解。
2017年春季学期
期中试题
2017年4月13日 出题人：唐林
- 设\(\Omega\)为曲面\(x^2 + y^2 = az\)与\(z = 2a - \sqrt{x^2 + y^2}(a > 0)\)所围成的空间区域。求\(\Omega\)的体积和表面积。（10分）
- 计算\(\iiint\limits_\Omega \mid\cos(x + y + z)\mid \mathrm dV\)，其中有界闭区域\(\Omega = \{(x, y, z)\mid x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0, x + y + z \le \pi\}\)。（10分）
- 计算\(\iiint\limits_\Omega \cfrac {x + y + z} {\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \mathrm dV\)，其中有界闭区域\(\Omega\)是由曲面\(x^2 + y^2 = 1\)和平面\(z = 0\)，\(z = 1\)所围成的区域。（10分）
- 计算\(\oint\limits_{L^+} \cfrac {X\mathrm dY - Y\mathrm dX} {X^2 + Y^2}\)，其中\(L^+\)是包围坐标原点的闭曲线，方向是逆时针以及\(X = ax + by\)，\(Y = cx + dy\)，\(ad - bc \neq 0\)。（10分）
- 计算\(\iint\limits_{S^+} y\ln r \mathrm dy\mathrm dz - x\ln r \mathrm dz\mathrm dx + z\mathrm dx\mathrm dy\)，其中\(S^+\)是椭球面\(\cfrac {x^2}{a^2} + \cfrac {y^2}{b^2} + \cfrac {z^2}{c^2} = 1\)的外侧，\(r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\)。（10分）
- 计算\(\oint\limits_C (y^2 - z^2 + 4x^2)\mathrm dx + (z^2 - x^2 + 3y^2)\mathrm dy + (x^2 - y^2 + 2z^2)\mathrm dz\)，其中\(C\)为用平面\(x + y + z = \frac 32 a\)切立方体\(0 \le x \le a\)，\(0 \le y \le a\)，\(0 \le z \le a\)的表面所得的切痕，其方向从\(x\)轴正向看去反时针的方向。（10分）
- 设\(I_R = \oint\limits_{x^2 + y^2 = R^2} \cfrac {y\mathrm dx - x\mathrm dy}{(x^2 + xy + y^2)^2}\)，证明\(\lim\limits_{R\to+\infty} I_R = 0\)。（10分）
- 解微分方程。（30分）
- 求方程\((2x + 3y)y' - y = 0\)的通解。
- 求方程\(y'' + 2y' + y = \cfrac {\mathrm e^{-x}} {x^2}\)的通解。
- 求方程\(y''' - 3y'' + 4y = 2x\sin^2 x + \mathrm e^{2x}\)的通解。
2018年春季学期
期中试题
2018年4月24日 出题人：唐林
- 计算\(\int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \mid x-y\mid^3 \mathrm dx \mathrm dy\)。（10分）
- 计算\(\iiint\limits_\Omega \mathrm e^{\mid x-a\mid} \mathrm dV\)，\(\Omega\)：\((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 \le R^2\)。（10分）
- 求圆柱面\(x^2 + y^2 = ax\)（\(a > 0\)）被球面\(x^2 + y^2 + z^2 = a^2\)所截那部分的面积。（10分）
- 计算\(\int\limits_L \cfrac {-(x + y)\mathrm dx + (x - y)\mathrm dy} {x^2 + y^2}\)，其中\(L\)是沿\(y = \pi\cos x\)由\(A(\pi, -\pi)\)到\(B(-\pi, -\pi)\)的曲线段。（10分）
- 计算\(\iint\limits_{S^+} \cfrac {x\mathrm dy\mathrm dz + y\mathrm dz\mathrm dx + z\mathrm dx\mathrm dy}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}\)，其中\(S\)是正方体\(\mid x\mid \le 2\)，\(\mid y\mid \le 2\)，\(\mid z\mid \le 2\)的表面，定向为正方形外侧。（10分）
- 计算\(\oint\limits_{L^+} (y - x^2)\mathrm dx + (z - y^2)\mathrm dy + (x - z^2)\mathrm dz\)，其中\(L^+\)为圆周\(x^2 + y^2 + z^2 = 1\)，\(x + y + z = 0\)，从\(z\)轴正向看为逆时针方向。（10分）
- 设\(D_1 = \{(x, y)\mid y > 0\}\)，\(D_2 = \{(x, y)\mid x^2 + y^2 \neq 0\}\)。判断第二型曲线积分\(\int\limits_{\overparen {AB}} \cfrac {x - y}{x^2 + y^2}\mathrm dx + \cfrac {x + y}{x^2 + y^2}\mathrm dy\)在\(D_1\)，\(D_2\)上是否与路径无关？（要求说明理由）（10分）
- 解微分方程。（30分）
- 求方程\((x + 2y)y' - (y + x + 1) = 0\)的通解。
- 求方程\(y'' + y' = \tan x\)的通解。
- 求方程\(y'' + 3y' + 2y = \cfrac x2 + x\cos^2 x+ \mathrm e^{-2x}\)的通解。