《线性代数》一小时速成

1 线性方程组的解

• $n$个方程$n$元线性方程组：
  • 有唯一解$\iff |A| \neq 0$。这个解是$\left(\cfrac{|B_1|}{|A|}, \cfrac{|B_2|}{|A|}, \cdots \cfrac{|B_n|}{|A|}\right)$，其中$|A|$是方程组的系数行列式，$|B_j| = $ \(\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1, j - 1} & b_1 & a_{1, j + 1} & \cdots & a_{1n} \\\\ a_{21} & \cdots & a_{2, j - 1} & b_2 & a_{2, j + 1} & \cdots & a_{2n} \\\\ \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\\\ a_{n1} & \cdots & a_{n, j - 1} & b_n & a_{n, j + 1} & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}\)，$j = 1, 2, \cdots , n$。
  • 有无穷解或无解$\iff |A| = 0$。
• $r$个方程$n$元线性方程组：
  • 有解$\iff \mathrm{rank}(A) = \mathrm{rank}(\widetilde A)$。
  • 有解时：有唯一解$\iff \mathrm{rank}(A) = n$；有无穷解$\iff \mathrm{rank}(A) < n$。
• $n$个方程$n$元齐次线性方程组：
  • $\mathrm{rank}(A) < n$时有基础解系，且基础解系所含解向量的个数为$n - \mathrm{rank}(A)$。把系数矩阵$A$经过初等行变换化成简化行阶梯形矩阵\(J = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & b_{1, r+1} & \cdots & b_{1n} \\\\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & b_{2, r+1} & \cdots & b_{2n} \\\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & b_{r, r+1} & \cdots & b_{rn} \\\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\\\ \end{bmatrix}\)，令自由未知量$x_{r+1}, \cdots , x_n$分别取下述$n - r$组数：\(\begin{bmatrix} 1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ \vdots \\\\ 0 \\\\ 0 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ \vdots \\\\ 0 \\\\ 0 \end{bmatrix} , \cdots , \begin{bmatrix} 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ \vdots \\\\ 0 \\\\ 1 \end{bmatrix}\)，得到方程组的$n - r$个解为\(\eta_1 = \begin{bmatrix} -b_{1, r+1} \\\\ -b_{2, r+1} \\\\ \vdots \\\\ -b_{r, r+1} \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ \vdots \\\\ 0 \\\\ 0 \end{bmatrix}, \eta_2 = \begin{bmatrix} -b_{1, r+2} \\\\ -b_{2, r+2} \\\\ \vdots \\\\ -b_{r, r+2} \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ \vdots \\\\ 0 \\\\ 0 \end{bmatrix}, \cdots, \eta_{n - r} = \begin{bmatrix} -b_{1, n} \\\\ -b_{2, n} \\\\ \vdots \\\\ -b_{r, n} \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ \vdots \\\\ 0 \\\\ 1 \end{bmatrix}\)，则$\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_{n - r}$是方程组的一个基础解系，则齐次线性方程组的通解是$k_1\eta_1 + k_2\eta_2 + \cdots + k_{n - r}\eta_{n - r}$。
• $n$个方程$n$元非齐次线性方程组：
  • 求出导出组的通解，再求出非齐次线性方程组的一个特解$\gamma_0$，则非齐次线性方程组的通解是$\gamma_0 + k_1\eta_1 + k_2\eta_2 + \cdots + k_{n - r}\eta_{n - r}$。

2 矩阵的乘法

• 设$A = (a_{ij})_{s \times n}$，$B = (b_{ij})_{n \times m}$，令$C = (c_{ij})_{s \times m}$，其中$c_{ij} = \sum\limits_{k = 1}^{n} a_{ik}b_{kj}$，即第$(i, j)$元等于左矩阵第$i$行与右矩阵第$j$列对应元素乘积之和。则矩阵$C$称为矩阵$A$与$B$的乘积，记作$C = AB$。
• 主对角线上元素都是$1$，其余元素都是$0$的$n$级矩阵称为$n$级单位矩阵，记作$I$。$AI = IA = A$。
• 初等矩阵：初等矩阵左乘为行变换，右乘为列变换。
  • $P(j, i(k))A$等于$A$的第$i$行乘$k$后加到第$j$行上。
  • $P(i, j)A$等于$A$的第$i$行与第$j$行交换。
  • $P(i(c))A$等于$A$的第$i$行乘$c$。

3 逆矩阵

• 伴随矩阵法：
  • \(A^* = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\\\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\\\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{bmatrix}\)，称为$A$的伴随矩阵。
  • $A^*A = |A|I$，则$A^{-1} = \cfrac {1}{|A|} A^*$。
• 初等变换法：
  • 把$A$和$I$并排放在一起，组成一个$n \times 2n$级矩阵$(A, I)$，对$(A, I)$作一系列初等行变换，把它的左半部分化成$I$，这时的右半部分就是$A^{-1}$，即$(A, I) \ce{->[初等行变换]} (I, A^{-1})$。

4 正交矩阵

• 实数域上的方阵$A$如果满足$AA’ = I$，则称$A$是正交矩阵，此时$A’ = A^{-1}$。
• 施密特正交化：对欧几里得空间$\mathbb R^n$上的线性无关的向量组$\alpha_1, \alpha_2, \cdots ,\alpha_s$，令$$\begin{align}&\beta_1 = \alpha_1, \\ &\beta_2 = \alpha_2 - \cfrac {(\alpha_2, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)}, \\ &\cdots \\ &\beta_s = \alpha_s - \sum_{j = 1}^{s - 1} \cfrac {(\alpha_s, \beta_j)}{(\beta_j, \beta_j)}\beta_j. \end{align}$$则$\beta_1, \beta_2, \cdots ,\beta_s$是正交向量组，且与$\alpha_1, \alpha_2, \cdots ,\alpha_s$等价。

5 矩阵的对角化

• 实对称矩阵：求矩阵$A$的特征多项式$|\lambda I - A| = 0$的所有根$\lambda_1, \lambda_2, \cdots ,\lambda_m$，即是$A$的所有特征值。分别代入$(\lambda_j I - A)X = 0$求出基础解系构成的集合$\alpha_1, \alpha_2, \cdots ,\alpha_n$，经正交化、单位化后得到$\eta_1, \eta_2, \cdots ,\eta_n$。令$T = (\eta_1, \eta_2, \cdots ,\eta_n)$，则$T$是正交矩阵。
• 对于数域$K$上$n$元二次型$X’AX$，令\(\begin{bmatrix} A \\\\ I \end{bmatrix}\) $\ce{->[对\mathit{A}作成对初等行、列变换][对\mathit{I}只作其中的初等列变换]}$ \(\begin{bmatrix} D \\\\ C \end{bmatrix}\)，其中$D$是对角矩阵$\mathrm{diag}\{d_1, d_2, \cdots ,d_n\}$，则$C’AC = D$。令$X = CY$，则得到$X’AX$的一个标准形$d_1y_1^2 + d_2y_2^2 + \cdots + d_ny_n^2$。

6 正定二次型

• 如果对于$\mathbb R^n$中任一非零列向量$\alpha$，都有$\alpha’ A \alpha > 0$，则称$n$元实二次型$X’AX$是正定的。
• 实二次型$X’AX$正定$\iff A$的合同标准形中，主对角元全大于$0 \iff$$A$的所有顺序主子式全大于$0$。

7 坐标

• 把$\alpha$由基$\alpha_1, \alpha_2, \cdots ,\alpha_n$线性表出的系数组成的$n$元有序数组$(a_1, a_2, \cdots ,a_n)$称为$\alpha$在基$\alpha_1, \alpha_2, \cdots ,\alpha_n$下的坐标。通常写成列向量的形式，$X = (x_1, x_2, \cdots ,x_n)’$，则$\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \cdots ,\alpha_n) X$。
• 若$(\beta_1, \beta_2, \cdots ,\beta_n) = (\alpha_1, \alpha_2, \cdots ,\alpha_n)A$，称$A$是基$\alpha_1, \alpha_2, \cdots ,\alpha_n$到基$\beta_1, \beta_2, \cdots ,\beta_n$的过渡矩阵。
• 若$\alpha$在基$\alpha_1, \alpha_2, \cdots ,\alpha_n$和基$\beta_1, \beta_2, \cdots ,\beta_n$下的坐标是$X$，$Y$，则$X = AY$。
• 对线性映射$\mathbb A: V \rightarrow V’$，取$V$的一组基$\alpha_1, \alpha_2, \cdots ,\alpha_n$，$V’$的一组基$\eta_1, \eta_2, \cdots ,\eta_s$，则存在$s \times n$矩阵$A$满足$\mathbb A(\alpha_1, \alpha_2, \cdots ,\alpha_n) = (\eta_1, \eta_2, \cdots ,\eta_s)A$。
• $\mathbb A\alpha$在基$\alpha_1, \alpha_2, \cdots ,\alpha_n$下的坐标是$AX$。
• $\xi$是$\mathbb A$的属于$\lambda_0$的一个特征向量$\iff \xi$的坐标$X$是$A$的属于特征值$\lambda_0$的一个特征向量。
• 设$\mathbb A$在基$\alpha_1, \alpha_2, \cdots ,\alpha_n$和基$\eta_1, \eta_2, \cdots ,\eta_n$下的矩阵分别为$A$，$B$，从$\alpha_1, \alpha_2, \cdots ,\alpha_n$到$\eta_1, \eta_2, \cdots ,\eta_n$的过渡矩阵是$S$，则$B = S^{-1}AS$。